Y yo quiero ser...Topólogo
(Por
Enrique Macías Virgós)
Escucha música mientras lees, vete al final.
En
Matemáticas, la solución de muchos problemas no consiste en realizar cálculos
(álgebra) o medir distancias (geometría), sino en entender la configuración o
la estructura de un objeto. El primero en resolver una cuestión así fue el
matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), al que plantearon el siguiente
acertijo (ver Fig. 1): “En la antigua ciudad de Königsberg, en Prusia, el
río Pregel forma dos islas que están unidas entre ellas y a las orillas por
siete puentes. ¿Es posible hacer un paseo que recorra todos los puentes y pase
una sola vez por cada uno?”Como puedes ver, este problema no depende del tamaño
de la ciudad, ni de la longitud de los puentes, ni de si están lejos o cerca
unos de otros, sino de la manera en que conectan las distintas porciones del
terreno. Es un problema “topológico”. La gran innovación de Euler fue
estudiarlo de manera abstracta, lo que le permitió demostrar que no existe tal
paseo, además de dar un método para estudiar cualquier número de puentes y
regiones.
Fig. 1. Los puentes de
Königsberg
¿Qué es la Topología?
La Topología
es una rama de las Matemáticas, que tiene muchas aplicaciones en otras
disciplinas científicas como la Física, la Ingeniería o la Biología. Es una
versión moderna de la geometría, que permite estudiar todo tipo de situaciones
desde un punto de vista cualitativo y estructural, más que cuantitativo, y aun
así extraer información valiosa. Resuelve problemas que no dependen de la forma
exacta de los objetos implicados, sino de la manera en que están colocados, y
no importa si los deformamos, retorcemos o estiramos; eso sí, sin romper ni
hacer agujeros. La Topología se fija en propiedades que son “invariantes”, es
decir, que no cambian aunque deformemos los datos, como en el problema de
Königsberg, donde a cada región del plano le corresponde el número de puentes
que la conectan con las otras regiones. A continuación veremos otros temas que
interesan a la Topología.
La característica de Euler-Poincaré
Los “sólidos
platónicos” (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro) son conocidos
desde la antigüedad. En el siglo XVIII, Euler se dio cuenta de que todos
cumplen la siguiente fórmula: V-A+C=2, donde V es el número de vértices, A es
el número de aristas y C es el número de caras. Por ejemplo, en el cubo (ver
Fig. 2) tenemos V=8 vértices, A=12 aristas y C=6 caras, de modo que V-A+C
vale 2 (se llama su “característica de Euler”).
El mismo
resultado se obtiene con objetos más complicados, como el “icosaedro truncado”
de la Fig. 2, que posee V=60 vértices, A=90 aristas, 12 caras pentagonales
y 20 hexagonales; por tanto, C=32, así que su característica también es 2.
Fig. 2. El cubo, el
icosaedro truncado y una esfera
Lo que tienen
en común todas estas figuras es que son deformaciones de una “esfera” (la
superficie de una pelota), como puedes comprobar si piensas en el conocido
balón de fútbol de la Fig. 2. En cambio, a diferencia de las anteriores,
la característica de un “toro” (la superficie de una rosquilla), vale cero,
como puedes comprobar si calculas V, A y C en la Fig. 3. Vemos así que la
característica de Euler es un “invariante” topológico que permite distinguir
unas superficies de otras.
Fig. 3. Una rosquilla
“topológica”
Se considera
al matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) como el fundador de la
topología moderna. En su época, y debido a la aparición de la teoría de la
relatividad y de las llamadas “geometrías no euclidianas”, los físicos y los
matemáticos empezaron a plantearse el estudio de las posibles “formas” que
puede tener el espacio-tiempo en que vivimos, y fue él quien generalizó la
característica de Euler a dimensiones superiores.
La banda de Moebius
Existen otros
invariantes topológicos que son aún más sutiles. El matemático alemán Augustus
Möbius (1790-1868) descubrió la curiosa superficie de la Fig. 4, que se
obtiene pegando una banda alargada de papel, pero dando un giro a los extremos
antes de unirlos. Como puedes comprobar por ti mismo, es imposible colorear una
cara y la otra no ¡porque solo tiene una cara! Además, el borde está formado
por una única circunferencia (no como el cilindro, que tiene dos bordes). En el
vídeo de la referencia [3] el topólogo Raúl Ibáñez explica qué ocurre si cortas
una banda de Möbius a lo largo. Tendrás un resultado diferente según que cortes
exactamente por el centro (obtendrás una cinta más larga y retorcida) o a un
tercio de distancia del borde (en este caso obtendrás ¡dos cintas separadas
pero enlazadas!). El invariante que está detrás de estos extraños fenómenos es
la “orientabilidad”, es decir la posibilidad de decir cuando se está “hacia
arriba” y cuando se está “hacia abajo”. El cilindro es “orientable”, pero la
banda de Möbius no.
Fig. 4. La banda de Möbius y
el cilindro
Teoría de nudos
Una teoría
topológica muy interesante es el estudio de los “nudos”. En Topología, para
simplificar, se supone que los dos extremos del cordel están unidos. Todos los nudos
son deformaciones de una circunferencia, pero se trata de decidir si
podemos desenredarlos o no, es decir, si hay una transformación de todo el
espacio que convierta un nudo en otro. ¿Podrías decidir si hay una manera de
transformar los tres nudos de la Fig. 5 entre ellos sin cortarlos?
Fig. 5. Tres nudos
Un juego topológico
El siguiente
juego fue inventado por el matemático inglés John H. Conway (1937- ), y se
conoce con distintos nombres (juego de los brotes, juego de las coles de
Bruselas). Se empieza dibujando dos puntos (los “brotes”) y después por turno
cada jugador traza una línea que empiece y acabe en un brote (vale que sea el
mismo punto), y dibuja un nuevo brote en el medio de la línea. Las líneas
pueden tener cualquier forma, pero no pueden cortarse. Además, cuando de un
brote salen tres líneas, se considera que está muerto y ya no puede usarse. Se
pierde el juego cuando ya no se puede dibujar ninguna línea. Es una situación
claramente topológica (no importa demasiado la posición de los puntos ni la
forma de las curvas) y hay resultados interesantes: por ejemplo, una partida no
puede durar menos de cuatro jugadas ni más de cinco. Posibles variantes del
juego son: empezar con más puntos, o permitir que de cada brote puedan salir
cuatro ramas en vez de tres.
Fig. 6. Una partida de
“brotes”
En el blog de
mi amigo el mago Moebius (referencia [6]) encontrarás más juegos topológicos.
Algunas aplicaciones de la Topología
La Topología
se considera una parte de la “matemática pura” y en principio no está enfocada
a problemas que tengan una aplicación directa. De todos modos, en la actualidad
ya tiene muchas aplicaciones. Veamos algunas.
-Física. La Topología se usa en la física de la materia condensada,
para explicar el comportamiento de superfluídos y superconductores. El premio
Nobel de Física de 2016 se otorgó a tres investigadores americanos que usaron
la Topología para estudiar cambios de fase diferentes de los usuales (sólido,
líquido y gaseoso).
-Robótica. Para planificar el movimiento de uno o más robots es
necesario conocer el conjunto de posiciones posibles (el “espacio de
configuraciones”) e implementar instrucciones (“algoritmos”) para que se muevan
sin colisiones. Es necesario estudiar un invariante, la llamada “complejidad
topológica”, para saber cuántos algoritmos se necesitan para cubrir todas las
posiciones posibles.
-Biología. En el estudio del cerebro aún no conocemos bien la
relación entre la complejidad de las conexiones de una red de neuronas y la
función que realizan. La topóloga Katrhyn Hess (1967- ) está usando
técnicas de “topología algebraica” para esquematizar el flujo de información y
entender cómo se procesan los estímulos.
-Química. La Topología juega un papel destacado cuando se estudia la
estructura tridimensional de nuevas moléculas con propiedades inusuales o el
plegamiento de proteínas.
-Computación. El “análisis topológico de datos” es importante para
entender las estructuras complejas que aparecen en muchos procesos mecánicos,
físicos y biológicos. Las técnicas topológicas consiguen suficiente información
en un tiempo de computación aceptable y proporcionan métodos para describir los
datos, como por ejemplo la manera en que están agrupados (“clustering”).
-Matemáticas. La Topología se usa en un montón de resultados
interesantes: teoremas del punto fijo, existencia de soluciones de ecuaciones,
comportamiento cualitativo de modelos matemáticos, teorema de la curva de
Jordan, teorema de la esfera peluda, conjetura de Poincaré, …
A modo de conclusión
Cuando miramos
el plano del metro de una gran ciudad (Fig. 7) tenemos una información que
no es “geométrica” (distancias, ángulos) sino “topológica” (estructura,
conexiones, ciclos). La Topología estudia “espacios” abstractos, que tanto
pueden representar el escenario de un experimento físico como las posibles
configuraciones de una máquina o de una molécula de ADN.
Desde el punto de
vista de la Topología, dos espacios son equivalentes si pueden ser
transformados el uno en el otro deformándolos sin cortar ni pegar. Un chiste
clásico dice que un topólogo ¡no es capaz de distinguir una rosquilla de una
taza con asa!
Fig. 7. El metro de Valencia
Referencias:
[1]
Los puentes de Königsberg: Matemáticas en
el Mundo Moderno, Editorial Blume 1974.
[2]
Característica de Euler: https://es.wikipedia.org/wiki/Caracter%C3%ADstica_de_Euler.
[3]
Banda de Moebius: http://www.rtve.es/alacarta/videos/orbita-laika/orbita-laika-banda-moebius/2949086/.
[4]
Nudos: https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_nudos,
ver también la versión en inglés.
[5]
Juego de los brotes: M. Gardner, Carnaval
matemático, Alianza Editorial, 1995.
[6]
Juegos topológicos: https://topologia.wordpress.com/.
Copyright
de las figuras: Fig. 1: The Euler archive E53; Fig. 2: Eigil Nielsen
Select Sports;: Fig. 2: File: Hexahedron.jpg, File: Truncatedicosahedron.jpg.,
Fig. 3: File: Hexagonal torus.png, Fig. 4: File: MobiusStrip-01.png,
File: Cylinder-Ruled-Surface.png, Fig. 5: File: Blue Figure-Eight
Knot.png, Fig. 6: File: Sprouts-2spot-game.png: Fig. 7:
Metrovalencia. Wikimedia Commons, the
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Enrique Macías Virgós
Doctor
en Matemáticas
Profesor del área de Geometría
y Topología de la Universidad de Santiago de Compostela
Escucha música mientras lees.
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